Ра­ди­ус огра­ни­чен­но­го этой сфе­рой шара в два раза мень­ше диа­мет­ра, по­это­му

Ответ: в).

Диа­метр огра­ни­чен­но­го этой сфе­рой шара в два раза боль­ше ра­ди­у­са, по­это­му

Ответ: г).

Се­че­ние шара плос­ко­стью  — круг. Так как пло­щадь этого круга по усло­вию равна см², то его ра­ди­ус равен 3 см.

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник AOB. От­ре­зок AO = 4 см, AB (ра­ди­ус) = 3 см.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра OB (ра­ди­ус шара) = 5 см.

Найдём объём шара по фор­му­ле Имеем:

Ответ: см³.

Се­че­ние шара плос­ко­стью  — круг. Так как длина линии пе­ре­се­че­ния сферы и се­ку­щей плос­ко­стью равна π см, то ра­ди­ус се­че­ния равен

По фор­му­ле найдём ра­ди­ус сферы:

Зна­чит,

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AOB от­ре­зок Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Зна­чит, OA  =  1 см, тогда рас­сто­я­ние от цен­тра шара до се­ку­щей плос­ко­сти равно 1 см.

Ответ: 1 см.

Так как O  — центр впи­сан­ной сферы, OM  — бис­сек­три­са угла PMH. Рас­смот­рим тре­уголь­ник PMH:

По тео­ре­ме о бис­сек­три­се тре­уголь­ни­ка

Тогда PH по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра равна Ра­ди­ус сферы, рав­ный OH,

Пло­щадь сферы  — это сле­до­ва­тель­но, пло­щадь дан­ной сферы равен

Ответ:

По тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Пи­фа­го­ра ABC  — пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник, AC  — ги­по­те­ну­за. Се­че­ние шара плос­ко­стью ABC  — окруж­ность. Центр этой окруж­но­сти лежит на се­ре­ди­не ги­по­те­ну­зы AC, то есть По тео­ре­ме о се­че­нии шара плос­ко­стью от­ре­зок OK пер­пен­ди­ку­ля­рен плос­ко­сти се­че­ния, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник KOC яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ным. Тогда OC (ра­ди­ус шара) равен

Объем шара равен

Ответ:

Пло­щадь ос­но­ва­ния ко­ну­са пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти По усло­вию:

Тогда Вы­со­та ко­ну­са равна:

Тогда Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой объ­е­ма ко­ну­са:

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой пло­ща­ди шара:

Из усло­вия сле­ду­ет, что тогда:

Ответ:

Пло­щадь ос­но­ва­ния ко­ну­са пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти По усло­вию:

Тогда Зная, что по­лу­ча­ем:

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой объ­е­ма ко­ну­са:

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой пло­ща­ди шара:

Из усло­вия сле­ду­ет, что тогда:

Ответ:

Введём обо­зна­че­ния (см. рис.). Пусть x равен рас­сто­я­нию от цен­тра шара до мно­же­ства точек его плос­ко­сти. Се­че­ние шара яв­ля­ет­ся кру­гом, пло­щадь ко­то­ро­го равна тогда в нашем слу­чае ра­ди­ус се­че­ния равен По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке OO₁A по­лу­ча­ем

Ответ: 12.

Введём обо­зна­че­ния (см. рис.). Се­че­ни­ем сферы яв­ля­ет­ся круг, длина окруж­но­сти ко­то­ро­го равна тогда в нашем слу­чае ра­ди­ус сферы равен 6. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке OO₁A найдём OO₁:

Ответ:

Се­че­ние шара плос­ко­стью  — круг. Рас­смот­рим пло­щадь круга и ис­поль­зу­ем дан­ные из усло­вия:

Расcмот­рим изоб­ра­же­ние. Имеем   — ра­ди­ус шара,   — ра­ди­ус круга. Про­ве­дем   — пер­пен­ди­ку­ляр из цен­тра шара к цен­тру круга. Это и будет ис­ко­мым рас­сто­я­ни­ем.

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка по­лу­ча­ем:

Ответ:

Расcмот­рим изоб­ра­же­ние. Про­ведём   — пер­пен­ди­ку­ляр из цен­тра шара к цен­тру круга. Имеем и   — центр круга.

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка по­лу­ча­ем:

Пло­щадь се­че­ния

Ответ:

Се­че­ни­ем шара плос­ко­стью будет круг. Тогда AB  — ра­ди­ус круга, OB  — ра­ди­ус шара, а OA  — рас­сто­я­ние от цен­тра шара до плос­ко­сти се­че­ния. Пло­щадь се­че­ния шара счи­та­ет­ся по фор­му­ле тогда под­ста­вим и по­лу­чим, что Так как по усло­вию пло­щадь се­че­ния шара в во­семь раз мень­ше пло­щаи по­верх­но­сти, имеем: Тогда ра­ди­ус шара равен 5. Найдём OA по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Ответ: 5.

Се­че­ни­ем шара плос­ко­стью будет круг. Тогда AB  — ра­ди­ус круга, OB  — ра­ди­ус шара, а OA  — рас­сто­я­ние от цен­тра шара до плос­ко­сти се­че­ния. Пло­щадь се­че­ния счи­та­ет­ся по фор­му­ле под­ста­вим и по­лу­чим, что пло­щадь се­че­ния равна Так как пло­щадь по­верх­но­сти шара в 16 раз боль­ше пло­ща­ди се­че­ния, то Тогда ра­ди­ус шара равен 4. Найдём OA по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Ответ:

Се­че­ни­ем шара плос­ко­стью яв­ля­ет­ся круг.

Ответ: г

Се­че­ни­ем сферы плос­ко­стью яв­ля­ет­ся окруж­ность.

Ответ: в

Так как объем шара равен то R³  =  64, зна­чит, R  =  4. Тогда пло­щадь по­верх­но­сти шара равна

Ответ:

Так как пло­щадь по­верх­но­сти шара равна тогда R=3. Зна­чит, объём шара равен

Ответ:

Объём шара вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле по­это­му в нашем слу­чае он равен см³.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под бук­вой в).

Най­дем ра­ди­ус сферы:

Ответ: 5.